Monotoniczność ciągów.

Ciąg

Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, więc można dla nich też zdefiniować pojęcie monotoniczności w identyczny sposób. Otrzymujemy w ten sposób definicje ciągu stałego, ciągu rosnącego, ciągu malejącego, ciągu nierosnącego, ciągu niemalejącego, ciągu monotonicznego i ciągu ściśle monotonicznego. Intuicyjnie, wyrazy ciągu rosnącego ciągle się zwiększają, malejącego ciągle maleją.

Aby zbadać monotoniczność ciągu o danym wyrazie ogólnym, należy zbadać znak różnicy a_n+1 - a_n. Jeśli jest ona dodatnia wtedy ciąg jest rosnący, jeśli ujemna ciąg jest malejścy, a jeśli równa 0, to ciąg jest stały.

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego n ∈ N⁺ jest spełniona nierówność a_n+1 > a_n.

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego n ∈ N⁺ jest spełniona nierówność a_n+1 < a_n.

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem stałym, wtedy i tylko wtedy, gdy a_n+1 = a_n.

Ciągi: malejące, rosnące, nierosnące, niemalejące noszą wspólną nazwę ciągów monotonicznych lub izotonicznych. Przyjęto również nazywać ciągi malejące lub rosnące ściśle monotonicznymi, ciągi zaś niemalejące lub nierosnące - monotonicznymi w szerszym sensie.

Przykłady:
a_n = n + 2:   2, 5, 8, 11, 14, ... - ciąg rosnący
a_n = n²:   1, 4, 9, 16, 25, ... - ciąg rosnący
a_n = 3 - n:   2, 1, 0, -1, -2, ... - ciąg malejący
a_n = -5n:   -5, -10, -15, -20, -25, ... - ciąg

malejący
an=1n:   1,12,13,14,... - ciąg malejący