Zeszyt do informatyki: marca 2014

piątek, 21 marca 2014

Znajdowanie przybliżonej wartości miejsca zerowego.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument x,
dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.

Metoda połowienia - bisekcji

Mamy daną funkcję f(x) oraz przedział <a,b>, w którym będziemy poszukiwali miejsca zerowego (czyli pierwiastka funkcji f(x)). Aby można było zastosować algorytm połowienia (zwany również algorytmem bisekcji), w przedziale <a,b> muszą być spełnione poniższe warunki:

1.	Funkcja f(x) jest określona - uczniowie często nie rozumieją tego pojęcia. Określoność funkcji oznacza, iż dla każdej wartości argumentu x z przedziału <a,b> potrafimy policzyć wartość funkcji. W trakcie pracy algorytm połowienia oblicza wartości funkcji dla argumentów należących do tego przedziału <a,b>. Jeśli przypadkowo trafi na punkt, dla którego wartość funkcji jest nieokreślona, obliczenia się załamią. W praktyce konsekwencje mogą być tragiczne, np. zmiana lotu samolotu z poziomego na pionowy w kierunku ziemi... Dla przykładu rozważmy prostą funkcję: Ile wynosi wartość tej funkcji dla x = 1? Musimy dzielić przez 0, a jak wiadomo jest to zadanie niewykonalne. W punkcie x = 1 tak podana funkcja ma nieokreśloną wartość.
2.	Funkcja f(x) jest ciągła. Ciągłość funkcji oznacza z kolei, iż jej wartości nie "wykonują" nagłych skoków. Funkcja przebiega przez wszystkie wartości pośrednie - nie istnieją zatem przerwy w kolejnych wartościach funkcji. Dla przykładu rozważmy taką oto funkcję: Funkcja w przedziale <-2,1> posiada następujący wykres: Nieciągłość występuje w punkcie x = 0, czyli w miejscu zmiany przepisu funkcji. Zwróć uwagę, iż funkcja jest określona w tym punkcie - nieciągłość i nieokreśloność to dwie różne sprawy - nie myl ich!!!
3.	Funkcja f(x) na krańcach przedziału <a,b> przyjmuje różne znaki. Ponieważ funkcja, zgodnie z poprzednim podpunktem, jest ciągła, to przyjmuje w przedziale <a,b> wszystkie wartości pośrednie pomiędzy f(a) i f(b). Wartości te mają różne znaki (czyli leżą po różnych stronach osi OX), zatem musi być taki punkt x_o w przedziale <a,b>, dla którego funkcja przyjmuje wartość pośrednią: f(a) < f(x_o) = 0 < f(b) lub f(a) > f(x_o) = 0 > f(b)

Gdy funkcja f(x) spełnia powyższe trzy warunki, to w przedziale <a,b> zagwarantowane jest istnienie pierwiastka i możemy go wyszukać algorytmem połowienia (bisekcji). Zasada jest następująca:

Wyznaczamy punkt x_o jako środek przedziału <a,b> zgodnie ze wzorem:

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x_o. Sprawdzamy, czy f(x_o) znajduje się dostatecznie blisko 0:

Jeśli nierówność jest spełniona, to x_o jest poszukiwaną wartością pierwiastka. Zwracamy wynik i kończymy algorytm. W przeciwnym razie za nowy przedział poszukiwań pierwiastka przyjmujemy tą połówkę <a,x_o> lub <x_o,b>, w której funkcja zmienia znak na krańcach. Algorytm powtarzamy od początku dotąd, aż znajdziemy pierwiastek

Program wyznacza miejsce zerowe funkcji: f(x) = x³(x + sin(x²- 1) - 1) - 1. Pierwiastków należy poszukiwać w przedziałach <-1,0> i <1,2>.

Obliczanie numeryczne. Obliczanie pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji.

Całkowanie numeryczne

– metoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wyżej wymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć wyraz kwadratura również niesie to znaczenie dla całkowania w wyższych wymiarach.

Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji.

Metoda prostokątów

Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint rule):

$\int\limits_{x_*}^{x_*+h} f(x) dx \approx h f\left( x_* + \frac h 2 \right)$

Jeśli funkcja $f(x)$ zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale $(x_*, x_*+h)$ , reguła taka da dobre przybliżenie całki.

Metoda trapezów

Metoda trapezów polega na tym, że figurę ABCD zastępujemy figurą złożoną z trapezów wpisanych, tzn. krzywą aproksymujemy linią łamaną w nią wpisaną. Przedział całkowania $(a,b)$ dzielimy przy tym na $n$ równych części o długościach:

$h:=\frac{b-a}{n}$ .

Punktami podziału (końcami części) są wówczas:

$x_i = a+(i-1)h, \quad i=1\dots n+1.$

Wówczas pole figury złożonej z trapezów wynosi

$S_{n}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}h+\frac{y_{2}+y_{3}}{2}h+...+\frac{y_{n}+y_{n+1}}{2}h=h\left(\frac{y_{1}}{2}+y_{2}+y_{3}+...+y_{n}+\frac{y_{n+1}}{2}\right)$

gdzie

$y_{i}:=f(x_{i})$ – wartości funkcji w punktach podziału.

Stąd otrzymujemy wzór przybliżony w metodzie trapezów:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \approx h\left(\frac{y_{1}}{2}+y_{2}+y_{3}+...+y_{n}+\frac{y_{n+1}}{2}\right) = \frac{h}{2}\sum_{i=1}^{n}\left(f(x_{i})+f(x_{i+1})\right)$

Oszacowanie błędu tej metody wynosi

$R_{n}:=\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx-S_{n}\right|\leq{\frac{(b-a)^{3}M^\prime{'}}{12n^{2}}}$

gdzie

$M^\prime{'}:=\max_{\langle a,b\rangle}|f^\prime{'}|$

czwartek, 20 marca 2014

Wyznaczanie różnych wartości za pomocą działań algebraicznych.

Metoda Newtona

(zwana również metodą Newtona-Raphsona lub metodą stycznych)

– iteracyjny algorytm wyznaczania przybliżonej wartości pierwiastka funkcji.

Rozwiązywanie równania nieliniowego

Zadanie

Zadaniem jest znalezienie pierwiastka równania zadanej funkcji ciągłej f:

$\mathbb{R} \supset [a,b] \ni x \mapsto f(x) \in \mathbb{R}$

w przedziale $[a,b].$ A zatem znalezienie takiego $x^{\ast} \in [a,b],$ które spełnia następujące równanie:

$f(x^{\ast})=0$

Opis metody

Ilustracja działania metody Newtona, pokazane zostały 4 pierwsze kroki.

W metodzie Newtona przyjmuje się następujące założenia dla funkcji f:

W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pierwiastek.
Funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału, tj. $f\left(a\right) \cdot f\left(b\right) < 0.$
Pierwsza i druga pochodna funkcji mają stały znak w tym przedziale.

W pierwszym kroku metody wybierany jest punkt startowy x₁ (zazwyczaj jest to wartość a, b, 0 lub 1), z którego następnie wyprowadzana jest styczna w f(x₁). Odcięta punktu przecięcia stycznej z osią OX jest pierwszym przybliżeniem rozwiązania (ozn. x₂).

Jeśli to przybliżenie nie jest satysfakcjonujące, wówczas punkt x₂ jest wybierany jako nowy punkt startowy i wszystkie czynności są powtarzane. Proces jest kontynuowany, aż zostanie uzyskane wystarczająco dobre przybliżenie pierwiastka

Kolejne przybliżenia są dane rekurencyjnym wzorem:

$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime(x_k)}$

Szacowanie błędu

Błąd k-tego przybliżenia można oszacować poprzez nierówności (x* to dokładna wartość pierwiastka):

$|x^{\ast} - x_k| \leqslant \frac{f(x_k)}{m}$

lub

$|x^{\ast} - x_k| \leqslant \frac{M}{2m}(x^{\ast} - x_{k-1})^2$

gdzie stałe wyznacza się ze wzorów:

$m=\min_{x \in [a,b]} |f'(x)|$

oraz

$M=\max_{x \in [a,b]} |f''(x)|$

Warunek zakończenia obliczeń

W metodzie Newtona wykonuje się iteracyjne obliczenia, aż do momentu gdy ich wyniki będą satysfakcjonujące. W praktyce stosowanych jest kilka kryteriów warunków zakończenia obliczeń dla algorytmu ( $\epsilon$ to przyjęta dokładność obliczeń):

1. wartość funkcji w wyznaczonym punkcie jest bliska 0:

$\left| f(x_k) \right| \leqslant \epsilon$

2. odległość pomiędzy kolejnymi przybliżeniami jest dość mała:

$\left| x_{k+1} - x_k \right| \leqslant \epsilon$

3. szacowany błąd jest dostatecznie mały:

$\frac{M}{2m}(x_k - x_{k-1})^2 \leqslant \epsilon$

4. kryterium mieszane (punkty 1 i 2 jednocześnie)

Zbieżność

Metoda Newtona-Raphsona jest metodą o zbieżności kwadratowej – rząd zbieżności wynosi 2 (wyjątkiem są zera wielokrotne, dla których zbieżność jest liniowa i wynosi 1), zaś współczynnik zbieżności $\frac{M}{2m}.$ Oznacza to, iż przy spełnionych założeniach błąd maleje kwadratowo wraz z ilością iteracji.

Metoda Newtona jest metodą rozwiązywania równań często używaną w solverach, ze względu na jej szybką zbieżność (w algorytmie liczba cyfr znaczących w kolejnych przybliżeniach podwaja się). Wadą jej jest fakt, iż zbieżność nie musi zawsze zachodzić. W wielu przypadkach metoda bywa rozbieżna, kiedy punkt startowy jest zbyt daleko od szukanego pierwiastka równania.

Profesjonalne solvery wykorzystują stabilniejsze, lecz mniej wydajne metody (jak np. metoda bisekcji) do znalezienia obszarów zbieżności w dziedzinie funkcji, a następnie używają metody Newtona-Raphsona do szybkiego i dokładniejszego obliczenia lokalnego pierwiastka równania. Dodatkowo solvery posiadają zabezpieczenia przed nadmierną ilością wykonywanych iteracji (przekroczenie ustalonej liczby iteracji jest równoznaczne z niepowodzeniem algorytmu w zadanym przedziale).

Przykład

Za pomocą metody Newtona można obliczyć pierwiastek $\sqrt{a}$ dla każdej liczby $a \in \Bbb R^+:$

$\sqrt{a}=x \iff a=x^2 \iff x^2-a=0$

Funkcja f(x) ma postać:

$f(x) = x^2 -a$

$f\, '(x) = 2x$

Rekurencyjny wzór wynosi:

$x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^2 -a}{2x_k}$

$x_{k+1} =\frac{1}{2}\left(x_k+\frac{a}{x_k}\right)$

Dla danych $a=2$ i $x_0=1,5$ algorytm przebiega następująco:

$x_{0} = 1,5$

$x_{1} = \frac{1}{2} (1,5 + \frac{2}{1,5}) \approx 1,416666$

$x_{2} = \frac{1}{2} (1,416666 + \frac{2}{1,416666}) \approx 1,414214$